คณิตศาสตร์

การแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

การแก้สมการ คือ การหาค่าของตัวแปรในสมการที่ทำให้สมการเป็นจริงโดยอาศัยสมบัติการเท่ากันของจำนวนจริง ดังนี้

สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว คือ สมการที่มีตัวแปรเพียงตัวเดียว และเลขขี้กำลังของตัวแปรเป็น 1 สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียวจะสามารถเขียนให้อยู่ในรูปอย่างง่าย ดังนี้

ax + b = 0 เมื่อ a, b เป็นค่าคงตัว และ a ไม่เท่ากับ 0 เช่น

2x+3 = 0

2a+1 = 0

สมบัติการเท่ากันของจำนวนจริง

เมื่อ a, b และ c เป็นจำนวนจริง

1)สมบัติสมมาตร (symmetric property)

ถ้า a = b แล้ว b = a

2) สมบัติการถ่ายทอด (transitive property)

ถ้า a = b และ b = c แล้ว a = c

3) สมบัติการแจกแจงหรือการกระจาย(distributiveproperty)

a(b+c) = ab + ac

4) สมบัติการบวก(additiveproperty)

ถ้า a = b แล้ว a + c = b + c

หรือ a - c = b - c

5) สมบัติการคูณ (multiplicative property)

ถ้า a = b แล้ว

a x c = b x c

หรือ a / c = b / c เมื่อ c ไม่เท่ากับ 0

วิธีแก้สมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว

1) จัดสมการให้อยู่ในรูปอย่างง่าย โดยให้ตัวแปรอยู่ข้างหนึ่ง และตัวคงที่อยู่อีกข้างหนึ่ง โดยใช้คุณสมบัติการบวก

(2) ถ้าสมการอยู่ในรูปของเศษส่วน ให้พยายามทำส่วนให้หมด โดยนำ ค.ร.น. ของส่วนคูณทุกพจน์

(3) ถ้าสมการอยู่ในรูปที่มีวงเล็บ ให้จัดการถอดวงเล็บออกก่อนโดยใช้สมบัติการแจกแจง

(4) ดำเนินการแก้สมการโดยใช้สมบัติการเท่ากันของจำนวนจริง หรือจะทำอย่างรวดเร็วโดยการย้ายข้าง (การย้ายให้เปลี่ยนเครื่องหมายของตัวที่ย้าย จากบวกเป็นลบ จากลบเป็นบวก จากคูณเป็นหาร จากหารเป็นคูณ โดยจะย้าย

จากซ้ายไปขวาหรือขวาไปซ้ายก็ได้ ซึ่งการย้ายข้างก็คือ ก็คือ การใช้สมบัติเท่ากันของจำนวนจริงนั้นเอง

สมการเชิงเส้นสองตัวแปร กราฟเส้นตรง

กราฟเส้นตรง

สมการกราฟเส้นตรงจะอยู่ในรูปต่าง ๆ ดังนี้

1. y = mx + c เป็นสมการเส้นตรงในรูปความชันที่มีความชัน

เท่ากับ m และระยะตัดแกน Y เท่ากับ c

ตัวอย่าง

y = 3x + 2 y = 2x - 5

y = x + 7

y = - x – 8

2. Ax + By + C = 0 เป็นสมการเส้นตรงในรูปทั่วไป

ตัวอย่าง

เช่น x + 2y + 5 = 0

3x - 4y - 12 = 0

8x + 7y - 20 = 0

เราสามารถเปลี่ยนสมการเส้นตรงในรูปทั่วไปให้ในรูปความชันได้ ดังนี้

Ax + By + C = 0

By = - Ax - C

Y = - X - (นำ B หารตลอด)

เมื่อเทียบ y = mx + c

จะได้ m = - และ C = -

3. y = c เป็นสมการเส้นตรงที่ขนานกับแกน X และอยู่ห่างจากแกน X เป็นระยะทาง C หน่วย

ตัวอย่าง

Y = 2 เป็นสมการเส้นตรงที่ขนานกับแกน X และอยู่เหนือแกน X = 2 หน่วย

Y = -5 เป็นสมการเส้นตรงที่ขนานกับแกน X และ

อยู่ใต้แกน X = 5 หน่วย

4. X = C เป็นสมการเส้นตรงที่ขนานกับแกน Y และอยู่ห่างจากแกน Y เป็นระยะ 5 หน่วย |C| หน่วย

ตัวอย่าง

X = 3 เป็นสมการเส้นตรงที่ขนานกับแกน Y และอยู่ห่าง

จาก แกน Y ไปทางขวา 3 หน่วย

X = -4 เป็นสมการเส้นตรงที่ขนานกับแกน Y และห่างอยู่

จาก แกน Y ไปทางซ้าย 4 หน่วย

---------------------------------------------------------------------------------

การเขียนกราฟแสดงเส้นตรง

การเขียนกราฟแสดงเส้นตรงเราอาจกำหนดจุด 2 จุด จากสมการ

ที่กำหนดให้แล้วลากเส้นผ่านจุดทั้งสองนั้น เพื่อป้องกันความผิดพลาดอาจกำหนดจุดมากกว่า 2 จุดก็ได้ ส่วนมากนิยมหาจุดที่กราฟตัดแกน X และแกน Y กราฟตัดแกน X เมื่อค่า y = 0 กราฟตัดแกน y เมื่อค่า X = 0

สมการที่อยู่ในรูประยะตัดแกน X และแกน Y คือ + = 1

เมื่อ a เป็นระยะตัดแกน X และ b เป็นระยะตัดแกน Y

จากสมการดังกล่าวเราได้จุดที่กราฟตัดแกน X คือ ( a , 0 ) และกราฟตัดแกน Y ที่จุด (0 , b)

ข้อสังเกต

ถ้าต้องการตรวจสอบกราฟที่เขียนมาถูกต้องหรือไม่ ให้สมมุติค่า X แล้วแทนในสมการ y = 2x - 5 เพื่อหาค่า y ดังนี้

ให้ x = 3 , y = 2(3) - 5 = 1

ดังนั้น จุด (3 , 1) จะอยู่บนเส้นตรงซึ่งมีสมการเป็น y = 2x - 5

---------------------------------------------------------------------------------

ความชัน (Slope) ของเส้นตรง

ความชันของเส้นตรงที่เป็นสมการ y = mx + c คือ m

ความชันของเส้นตรงที่สมการเป็น Ax + By + C = 0 คือ -

ตัวอย่าง

ความชันของเส้นตรงที่เป็นสมการ y = 2x - 3 คือ 2

ความชันของเส้นตรงที่สมการเป็น 3x - 2y + 5 = 0 คือ =

ข้อสังเกต

1. เส้นตรง y = 3x - 5 มีความชันเป็นบวก กราฟจะทำมุมแหลมกับแกน X ในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา

2. เส้นตรง 3x + 4y - 12 = 0 มีความชันเป็นลบ กราฟจะทำมุมป้านกับแกน X ในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา

3. ถ้ากราฟเป็นเส้นตรงที่ขนานกับแกน X จะมีความชันเป็นศูนย์

4. ถ้ากราฟเป็นเส้นตรงที่ขนานกับแกน Y เส้นตรงนั้นไม่มีความชัน

---------------------------------------------------------------------------------

กราฟเส้นตรงกับการนำไปใช้

การใช้กราฟเส้นตรงแสดงความสัมพันธ์ของปริมาณสองชุดเป็นการบอกลักษณะของข้อมูลได้อย่างรวดเร็วและชัดเจน ถ้าเราทราบปริมาณหนึ่ง จะหาค่าอีกปริมาณหนึ่งได้

--------------------------------------------------------------------------------

กราฟเส้นตรง

กราฟเส้นตรงเป็นกราฟที่เขียนจากสมการเชิงเส้น 2 ตัวแปร ซึ่งอยู่ในรูปทั่วไป

Ax + By + C = 0

เมื่อ A , B และ C เป็นค่าคงตัว ที่ A , B ไม่เป็นศูนย์พร้อมกัน และจากรูปทั่วไปสมการเปลี่ยนให้อยู่ในรูปมาตราฐานคือ

y = mx + c m และ c เป็นค่าคงตัว

การจัดสมการจากรูปทั่วไปเป็นมาตราฐานสามารถจัดได้กับสมการเชิงเส้นทุกสมการ และค่า m และ C จะทำให้บอกลักษณะของกราฟเส้นตรง

ถ้าความชันเป็น+ กราฟจะทำมุมแหลมกับแกน x ถ้าความชันเป็น- กราฟจะทำมุมป้านกับแกน x